Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
до лабораторної роботи №3
з дисципліни “Математичні методи дослідження операцій”
на тему
КЛАСИЧНІ МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ
Мета роботи: закріпити навики дослідження функцій з використанням класичних методів оптимізації.
Теоретичні відомості
Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції у = 2х3 – 3х2 – 12х + 6, х [– 3; 1].
Розв’язувння. Досліджувана функція є неперервною на відрізку [–3; 1] і диференційовною в інтервалі (– 3; 1) (як многочлен). Її похідною буде y′ = 6х2 – 6х – 12.
Рівняння 6х2 – 6х – 12 = 0 має корені х = – 1 і х = 2. Знаходимо у ( – 1) = 13. Точка х = 2 не належить відрізку [–3; 1], тому значення функції y в цій точці нас не цікавить.
Обчислюємо у ( –3) = – 39 і у (1) = – 7.
Залишилося вибрати найменше і найбільше серед чисел у ( – 3) = – 39, у ( – 1) = 13 і у (1) = – 7. Бачимо, що найменшого значення досліджувана функція у набуває в точці – 3 і воно дорівнює – 39, а найбільшого – в точці – 1 і воно дорівнює 13. Коротко це прийнято записувати так:
Приклад 2. Знайти найменше і найбільше значення функції y = 2| х | + х, х [–2; 1].
Розв’язувння. За означенням модуля
– х, якщо х < 0;
2| х | + х = 3х, якщо х ≥ 0.
Тому досліджувану функцію у можна записати у вигляді:
– х, якщо – 2 ≤ х < 0;
у = 3х, якщо 0 ≤ х ≤ 1.
Звідси легко показати, що функція у неперервна на відрізку [–2; 1] і її похідна
– 1, якщо – 2 ≤ х < 0; (покажіть це самі).
y′ =
3, якщо 0 < х < 1.
У точці х = 0 дана функція не має похідної. Справді, для функції у у точці х = 0 маємо:
– 1, якщо ∆х < 0;
3, якщо ∆х > 0.
Але тоді не існує границі , коли ∆х → 0, тобто функція у у точці х = 0 не має похідної. Справді, якщо припустити, що зазначена границя існує і дорівнює числу А, то за означенням границі в деякому околі точки ∆х = 0 = | –1 – А | < 1 і отже, для будь–якого від’ємного ∆х з цього околу |– 1 – А| < 1, тобто –1 < –1 — А < 1 або
–2 < А < 0, (1)
а для будь–якого додатного ∆х з вказаного околу |3 — А| < 1, тобто –1 < 3 — А < 1 або
2 < А < 4. (2)
Нерівності (1) і (2) суперечливі, тому припущення про існування границі , коли ∆х → 0, неправильне.
Отже, для розглядуваної функції у рівняння у′ = 0 коренів не має і в точці х = 0 похідна функції у не існує.
Знаходимо у(0) = 0, у(–2) = 2 і у(1) = 3. Звідси бачимо, що
Для вказаного індивідуального варіанту знайти точки екстремуму й намалювати графік функції.
Проінтерпретувати отримані результати для вихідної задачі.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
порядок виконання роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм побудови розв’язку задачі;
малюнки відповідних таблиць;
одержані результати, їх аналіз і висновки.
Індивідуальне завдання
16
Знайтити точки екстремуму функцій:
а) у = 2х3 – 9 х2 + 12х + 5;
б) у = 3| х | + 2х.
Розв’язок задачі
а).
Похідна існує при всіх значеннях аргументу.
Ми отримали квадратне рівняння. Знаходимо його корені.
Похідна . <0, а >0.
Отже, точка є точкою мінімуму, а точка – максимуму функції у = 2х3 – 9 х2 + 12х + 5. ,
б) у = 3| х | + 2х.
За означенням модуля – х, якщо х < 0;
3| х | + 2х = 5х, якщо х ≥ 0.
Звідси легко показати, що функція у неперервна і її похідна
– 1, якщо х < 0;
y′ =
5, якщо х > 0.
У точці х = 0 дана функція не має похідної. Справді, для функції у у точці х = 0 маємо:
– 1,...
